用指數定律擬合數據

Question

我想用指數 function 擬合一些數據。 我使用scipy.optimize.curve_fit因為我已經將它用於其他擬合。 這一次，有一個問題，我不知道出了什么問題。

這是繪制時數據的樣子： data.png

如您所見，它似乎遵循指數定律。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

data = np.array([ 
    0.,  1.93468444,  3.69735865,  5.38185988,  6.02549022,
    6.69199075,  7.72316694,  8.08913061,  8.84570241,  8.69711608,
    8.80038144,  9.78951087,  9.68486674, 10.06175145, 10.44039495,
   10.0481156 ,  9.76656204,  9.88581457,  9.81805445, 10.42432252,
   10.41102239, 11.2911395 ,  9.64866184,  9.98072231, 10.83644694,
   10.24748571, 10.81333209, 10.75949899, 10.90367328, 10.42446764,
   10.51441017, 10.73047737, 10.8159758 , 10.51013538, 10.02862504,
    9.76352112, 10.64829309, 10.6293347 , 10.67752596, 10.34801542,
   10.53158576, 10.92883362, 10.67002314, 10.37015825, 10.74876349,
   10.12821343, 10.8974205 , 10.1591103 , 10.588377  , 11.92134556,
   10.309095  , 11.1174362 , 10.72654524, 10.60890374, 10.37456491,
   10.05935346, 11.21295863, 11.09013951, 10.60862773, 11.2558922 ,
   11.24660234, 10.35981557, 10.81284365, 10.96113067, 10.22716439,
    9.8394873 , 10.01892084, 10.38237311, 10.04920671, 10.87782442,
   10.42438756, 10.05614503, 10.5446946 ,  9.99974368, 10.76930547,
   10.22164072, 10.36942999, 10.89888302, 10.47035428, 10.58157374,
   11.12615892, 11.30866718, 10.33215937, 10.46723351, 10.54072701,
   11.45027197, 10.45895588, 10.34176601, 10.78405493, 10.43964778,
   10.34047484, 10.25099046, 11.05847515, 10.27408195, 10.27529163,
   10.16568845, 10.86451738, 10.73205291, 10.73300649, 10.49463959,
   10.03729782
])

t = np.linspace(0, 100, len(data)) #time array

def expo(x, a, b, c): #exponential function for fitting
   return a * np.exp(b * x) + c

fig1, ax1 = plt.subplots()
ax1.plot(t, data, ".", label="data")
coefs = curve_fit(expo, t, data)[0] # fitting
ax1.plot(t, expo(t, coefs[0], coefs[1], coefs[2]), "-", label="fit")
ax1.legend()
plt.show()

問題是 curve_fit() 返回非常大或非常小的系數 a,b 和 c 而它應該返回更像a = -10.5 ， b = -0.2 ， c = 10.5

Answer 1

擬合過程通過找到損失 function 的局部最小值來工作。 如果問題不受約束，則可能有多個這樣的局部最小值，每個最小值都給出不同的參數值，並且您可能會得到與您期望的不同的值。

如果您猜測參數應該是什么，您可以提供它來縮小搜索范圍：

# with an initial guess for values of a, b, c 
coefs = curve_fit(expo, t, data, p0=[-10, -1, 10])[0]

它產生的系數是：

array([-10.48815244,  -0.2091102 ,  10.56699883])

或者，您可以為參數指定鍵：

# with lower and upper bounds for a, b, c
coefs = curve_fit(expo, t, data, bounds=([-20, -2, 0], [-10, 2, 20]))[0]

這給出了與上述相同的結果。

Answer 2

可能在您的軟件中實現了非線性回歸算法。

開始迭代過程需要參數的“猜測”初始值。 如果用戶沒有提供初始值，則軟件會評估一些初始值。 這通常是失敗的原因，因為計算的初始值可能與正確值相差太遠。

使用不需要初始值的線性回歸方法可以找到一些好的初始值。 請參閱下面的微積分。

結果是：

如果根據某些指定的擬合標准，上述結果的准確性不夠，則需要進行非線性回歸。 在這種情況下，參數 $a,b,c$ 的上述值可以用作初始值來啟動迭代演算。

注意：如上所示線性化非線性回歸的方法的原理在： https://fr.scribd.com/doc/14674814/Regressions-et-equations-integrales

Answer 3

這是我嘗試過的，在 np.exp 中使用了負 b

def expo(x,a,b,c): 
   return a*np.exp(-b*x) + c

>>>[-10.4881516    0.20911016  10.5669989 ]