需要用于opengl 3D变换的旋转矩阵

Question

问题是我在3D空间中有两个点，其中y +是向上的，x +是向右的，而z +是朝向你的。 我想在它们之间定位一个圆柱体，它是两个点之间距离的长度，因此它的两个中心端都接触这两个点。 我将气缸转换到两点中心的位置，我需要帮助提出一个旋转矩阵应用于气缸，以便它以正确的方式定向。 我对整个事物的转换矩阵如下所示：

平移（中心点）* rotateX（有些X度）* rotateZ（有些Z度）

翻译最后应用，这样我可以在翻译之前将其转换为正确的方向。

以下是我迄今为止所做的事情：

mat4 getTransformation(vec3 point, vec3 parent)
{
    float deltaX = point.x - parent.x;
    float deltaY = point.y - parent.y;
    float deltaZ = point.z - parent.z;

    float yRotation = atan2f(deltaZ, deltaX) * (180.0 / M_PI);
    float xRotation = atan2f(deltaZ, deltaY) * (180.0 / M_PI);
    float zRotation = atan2f(deltaX, deltaY) * (-180.0 / M_PI);
    if(point.y < parent.y)
    {
        zRotation = atan2f(deltaX, deltaY) * (180.0 / M_PI);
    }

    vec3 center = vec3((point.x + parent.x)/2.0, (point.y + parent.y)/2.0, (point.z + parent.z)/2.0);
    mat4 translation = Translate(center);
    return translation * RotateX(xRotation) * RotateZ(zRotation) * Scale(radius, 1, radius) * Scale(0.1, 0.1, 0.1);
}

我尝试了下面给出的解决方案，但它似乎根本不起作用

mat4 getTransformation(vec3 parent, vec3 point)
{
    // moves base of cylinder to origin and gives it unit scaling
    mat4 scaleFactor = Translate(0, 0.5, 0) * Scale(radius/2.0, 1/2.0, radius/2.0) * cylinderModel;

    float length = sqrtf(pow((point.x - parent.x), 2) + pow((point.y - parent.y), 2) + pow((point.z - parent.z), 2));
    vec3 direction = normalize(point - parent);
    float pitch = acos(direction.y);
    float yaw = atan2(direction.z, direction.x);

    return Translate(parent) * Scale(length, length, length) * RotateX(pitch) * RotateY(yaw) * scaleFactor;
}

运行上面的代码后，我得到了这个：

每个黑点都是一个点，其父级是产生它的点（前面的那个）我希望分支适合点。 基本上我正在尝试为随机树生成实现空间定殖算法。 我得到了大部分，但我想将树枝映射到它，所以看起来不错。 我可以使用GL_LINES来建立一个通用的连接，但如果我得到这个工作，它看起来会更漂亮。 这里解释了算法。

这是我想要做的事情的图像（原谅我的绘画技巧）

Answer 1

嗯，有任意数量的旋转矩阵满足您的约束。 但任何人都会这样做。 我们不是试图找出特定的旋转，而是直接写下矩阵。 假设您的圆柱体在未应用变换时，其轴线沿Z轴。 因此，您必须将局部空间Z轴转换为这两个点之间的方向。 即z_t = normalize(p_1 - p_2) ，其中normalize(a) = a / length(a) 。

现在我们只需要使它成为一个完整的三维坐标基础。 我们从一个与z_t不平行的任意向量开始。 比如，（1,0,0）或（0,1,0）或（0,0,1）之一; 用标产品· （也称为内部，或内积）与z_t并使用其绝对值最小的向量，我们称之为载体u 。 在伪代码中：

# Start with (1,0,0)
mindotabs = abs( z_t · (1,0,0) )
minvec = (1,0,0)
for u_ in (0,1,0), (0,0,1):
    dotabs = z_t · u_
    if dotabs < mindotabs:
        mindotabs = dotabs
        minvec = u_

u = minvec_

然后，您正交化该向量，产生局部y变换y_t = normalize(u - z_t · u) 。

最后通过乘以叉积x_t = z_t × y_t创建x变换

要将圆柱体移动到位，请将其与匹配的平移矩阵组合。

转换矩阵实际上只是你从“来自”空间的轴，就像从另一个空间看到的那样。 因此，得到的矩阵，即您正在寻找的旋转矩阵，只是矢量x_t，y_t和z_t并排作为矩阵。 OpenGL使用所谓的均匀矩阵，因此您必须使用0,0,0,1最底行和最右列将其填充为4×4形式。

你可以加载到OpenGL; 如果使用固定功能使用glMultMatrix来应用旋转，或者如果使用着色器乘以矩阵，则最终会传递给glUniform。

Answer 2

用具有其两端，我称之为一个单位长度的圆筒开始C1 ，在原点（请注意，您的图片表明了你的汽缸都有它的起源中心 ，但你可以很容易地变换一下我开头）。 另一端，我称之为C2 ，然后是(0,1,0) 。

我想打电话给你的两个点在世界坐标P1和P2 ，我们要找到C1上的P1和C2至P2 。

首先将圆柱体转换为P1 ，然后将C1成功定位到P1 。

然后按distance(P1, P2)缩放圆柱体，因为它最初的长度为1 。

可以使用球面坐标计算剩余旋转。 如果您不熟悉这种类型的坐标系：它就像GPS坐标：两个角度; 一个围绕极轴（在你的情况下是世界的Y轴），我们通常称之为偏航 ，另一个是俯仰角（在你的情况下是模型空间中的X轴）。 可以通过将P2-P1 （即， P2的局部偏移相对于P1 ）转换为球面坐标来计算这两个角度。 首先以俯仰角围绕X旋转物体，然后绕Y偏航。

像这样的东西会这样做（伪代码）：

Matrix getTransformation(Point P1, Point P2) {
    float length = distance(P1, P2);
    Point direction = normalize(P2 - P1);
    float pitch = acos(direction.y);
    float yaw = atan2(direction.z, direction.x);

    return translate(P1) * scaleY(length) * rotateX(pitch) * rotateY(yaw);
}

Answer 3

调用气缸A的轴。 第二次旋转（大约X ）不能改变A和X之间的角度，所以我们必须在第一次旋转（大约Z ）时获得该角度。

调用目标矢量（两点之间的矢量） B 。 拿-acos（B _X / B _Y ），这是第一次旋转的角度。

再次取B ，忽略X分量，并查看其在（Y，Z）平面中的投影。 取acos（B _Z / B _Y ），这就是第二次旋转的角度。