如何计算 3D 中一个点的偏航、俯仰和滚动？

Question

给定 3D 空间中的一个点，将一条线转换为指向该 object 所需的三个角度（例如欧拉角）是多少？

想象一下，我在 3D 中有一条线（或一个框），我想将它的航向、俯仰和坡度转换为从原点指向 3D 点，这些角度我将使用什么值？

我无法计算出数学来计算指向(1,2,3)等位置的角度。

Answer 1

注意：我将使用3D Math Primer for Graphics and Game Development by Fletcher Dunn定义的约定“航向、俯仰、倾斜”，而不是“偏航、俯仰、滚动”。

首先，请注意，在 2D 坐标系中，您只需要一个角度 + 幅度即可“指向”2D 中的任何点。

同样，在 3D 坐标系中，您只需要两个角度+ 幅度即可“指向”3D 中的任何点。 最后一个角度（“bank”或“roll”）不影响 3D 中点的位置。 相反，它会“旋转”指向它的箭头。 如果 object 是 360 度对称的，则根本不会看到影响 object 的自旋。 如果 object 不对称（例如飞机），它将影响 object（例如，将一个机翼向地面倾斜，另一个向天空倾斜）。

所以最初的问题实际上变成了，“我如何找到航向角、俯仰角和幅度来“指向”3D 空间中的任何点？

您可以使用三角函数轻松计算出这一点。 假设我们有点(1,2,3) ，我们正在尝试计算航向、俯仰、幅度。

对于以下示例，让我们使用此图，其中左轴为 X，上轴为 Y，右轴为 Z。点(1,2,3)则由蓝色球体表示。

1. 找出量级

首先，让我们找到最简单的值，即幅度。 对我们来说幸运的是，只要使用勾股定理，任何两点之间的大小（长度）都很容易找到，无论我们有多少维。 由于我们在 3D 并且我们正在计算从原点到我们点的距离，我们的距离公式变为：

magnitude = sqrt(x*x + y*y + z*z)

插入我们的实际值：

magnitude = sqrt(1*1 + 2*2 + 3*3)
          = 3.7416573868

所以我们的大小（或长度）是 ~ 3.741 。

2.找到标题

接下来，要找到航向，请注意我们只关心围绕 XZ 平面的旋转，而根本不关心 Y 轴。 如果我们要将 3D 空间“展平”为 2D 空间，则查找标题变得微不足道。

我们可以画一个三角形 forms 与 X 轴成 90 度角（红色三角形），然后计算该角度。 回忆三角函数tan(angle) = opposite / adjacent ，求解angle ，我们得到angle = arctan(opposite / adjacent) 。

在这种情况下，“相邻”是一个已知量（ redAdjacent = x = 1 ），“相反”也是已知的（ redOpposite = z = 3 ）。 我们不想使用 arctan 来求解方程，而是使用atan2 ，因为它会为我们处理 x 和 y 的所有不同情况。

所以我们有：

heading = atan2(redOpposite, redAdjacent)

插入我们的实际值：

heading = atan2(3, 1)
        = 1.249045772398

所以我们的航向是1.249 rad，或 ~ 72° 。

3.找到音高

最后，我们需要找到音高。 与我们对标题所做的类似，我们可以将 3D 空间沿包含这三个点的平面展平为 2D：（A）原点(0,0,0) ，（B）我们的点(1,2,3)和 (C) 我们的点，因为它将投影到 XZ 平面(1,0,3) （例如，通过将 Y 值设置为 0）。

如果我们在这三个点之间画一个三角形，你会注意到它们又形成了一个直角三角形（绿色三角形）。 我们可以再次使用arctan2简单地计算角度。

我们已经在步骤 1 中计算了绿色斜边（即我们的向量的大小）：

greenHypotenuse = sqrt(x*x + y*y + z*z)
                = 3.7416573868

我们还知道绿色三角形的对面与 y 值相同：

greenOpposite = y
              = 2

使用勾股定理，我们可以找到相邻角的长度：

greenOpposite^2 + greenAdjacent^2 = greenHypotenuse^2
y*y + greenAdjacent^2 = x*x + y*y + z*z
greenAdjacent^2 = x*x + z*z
greenAdjacent = sqrt(x*x + z*z)

请注意，计算绿色三角形相邻长度的另一种方法是注意redHypotenuse == greenAdjacent ，我们可以使用以下方法找到redHypotenuse ：

redHypotenuse^2 = redAdjacent^2 + redOpposite^2
                = x*x + z*z
redHypotenuse = sqrt(x*x + z*z)

插入实际值，我们得到：

greenAdjacent = sqrt(1*1 + 3*3)
              = 3.1622776602

所以现在我们知道了绿色三角形的相邻和相反的长度，我们可以再次使用arctan2 ：

pitch = atan2(greenOpposite, greenAdjacent)
      = atan2(2, 3.1622776602)
      = 0.563942641356

所以我们的间距是0.5634弧度，或大约32° 。

结论

如果要从原点画一条线，长度为3.741 ，航向为1.249弧度，间距为0.564弧度，它将从(0,0,0)延伸到(1,2,3) 。