如何計算 3D 中一個點的偏航、俯仰和滾動？

Question

給定 3D 空間中的一個點，將一條線轉換為指向該 object 所需的三個角度（例如歐拉角）是多少？

想象一下，我在 3D 中有一條線（或一個框），我想將它的航向、俯仰和坡度轉換為從原點指向 3D 點，這些角度我將使用什么值？

我無法計算出數學來計算指向(1,2,3)等位置的角度。

Answer 1

注意：我將使用3D Math Primer for Graphics and Game Development by Fletcher Dunn定義的約定“航向、俯仰、傾斜”，而不是“偏航、俯仰、滾動”。

首先，請注意，在 2D 坐標系中，您只需要一個角度 + 幅度即可“指向”2D 中的任何點。

同樣，在 3D 坐標系中，您只需要兩個角度+ 幅度即可“指向”3D 中的任何點。 最后一個角度（“bank”或“roll”）不影響 3D 中點的位置。 相反，它會“旋轉”指向它的箭頭。 如果 object 是 360 度對稱的，則根本不會看到影響 object 的自旋。 如果 object 不對稱（例如飛機），它將影響 object（例如，將一個機翼向地面傾斜，另一個向天空傾斜）。

所以最初的問題實際上變成了，“我如何找到航向角、俯仰角和幅度來“指向”3D 空間中的任何點？

您可以使用三角函數輕松計算出這一點。 假設我們有點(1,2,3) ，我們正在嘗試計算航向、俯仰、幅度。

對於以下示例，讓我們使用此圖，其中左軸為 X，上軸為 Y，右軸為 Z。點(1,2,3)則由藍色球體表示。

1. 找出量級

首先，讓我們找到最簡單的值，即幅度。 對我們來說幸運的是，只要使用勾股定理，任何兩點之間的大小（長度）都很容易找到，無論我們有多少維。 由於我們在 3D 並且我們正在計算從原點到我們點的距離，我們的距離公式變為：

magnitude = sqrt(x*x + y*y + z*z)

插入我們的實際值：

magnitude = sqrt(1*1 + 2*2 + 3*3)
          = 3.7416573868

所以我們的大小（或長度）是 ~ 3.741 。

2.找到標題

接下來，要找到航向，請注意我們只關心圍繞 XZ 平面的旋轉，而根本不關心 Y 軸。 如果我們要將 3D 空間“展平”為 2D 空間，則查找標題變得微不足道。

我們可以畫一個三角形 forms 與 X 軸成 90 度角（紅色三角形），然后計算該角度。 回憶三角函數tan(angle) = opposite / adjacent ，求解angle ，我們得到angle = arctan(opposite / adjacent) 。

在這種情況下，“相鄰”是一個已知量（ redAdjacent = x = 1 ），“相反”也是已知的（ redOpposite = z = 3 ）。 我們不想使用 arctan 來求解方程，而是使用atan2 ，因為它會為我們處理 x 和 y 的所有不同情況。

所以我們有：

heading = atan2(redOpposite, redAdjacent)

插入我們的實際值：

heading = atan2(3, 1)
        = 1.249045772398

所以我們的航向是1.249 rad，或 ~ 72° 。

3.找到音高

最后，我們需要找到音高。 與我們對標題所做的類似，我們可以將 3D 空間沿包含這三個點的平面展平為 2D：（A）原點(0,0,0) ，（B）我們的點(1,2,3)和 (C) 我們的點，因為它將投影到 XZ 平面(1,0,3) （例如，通過將 Y 值設置為 0）。

如果我們在這三個點之間畫一個三角形，你會注意到它們又形成了一個直角三角形（綠色三角形）。 我們可以再次使用arctan2簡單地計算角度。

我們已經在步驟 1 中計算了綠色斜邊（即我們的向量的大小）：

greenHypotenuse = sqrt(x*x + y*y + z*z)
                = 3.7416573868

我們還知道綠色三角形的對面與 y 值相同：

greenOpposite = y
              = 2

使用勾股定理，我們可以找到相鄰角的長度：

greenOpposite^2 + greenAdjacent^2 = greenHypotenuse^2
y*y + greenAdjacent^2 = x*x + y*y + z*z
greenAdjacent^2 = x*x + z*z
greenAdjacent = sqrt(x*x + z*z)

請注意，計算綠色三角形相鄰長度的另一種方法是注意redHypotenuse == greenAdjacent ，我們可以使用以下方法找到redHypotenuse ：

redHypotenuse^2 = redAdjacent^2 + redOpposite^2
                = x*x + z*z
redHypotenuse = sqrt(x*x + z*z)

插入實際值，我們得到：

greenAdjacent = sqrt(1*1 + 3*3)
              = 3.1622776602

所以現在我們知道了綠色三角形的相鄰和相反的長度，我們可以再次使用arctan2 ：

pitch = atan2(greenOpposite, greenAdjacent)
      = atan2(2, 3.1622776602)
      = 0.563942641356

所以我們的間距是0.5634弧度，或大約32° 。

結論

如果要從原點畫一條線，長度為3.741 ，航向為1.249弧度，間距為0.564弧度，它將從(0,0,0)延伸到(1,2,3) 。