限制星图之间的边数，以使图为平面

Question

我有一个仅由星形图组成的图G。 星形图由一个中心节点组成，该中心节点具有到其中每个其他节点的边。 令H ₁ ，H ₂ ，…，H _n为存在于G中的不同大小的不同星形图。 我们称所有星图R为中心的所有节点的集合。

现在假设这些星形图正在建立其他星形图的边缘，以使R中的任何节点之间都没有边缘入射。 然后，有多少边缘在R中的节点的，哪些不是R中的节点之间的最大存在，如果该图应保持平面？

我想要这样的边缘数量的上限。 我想到的一个上限是：将它们视为二分平面图，其中R是一组顶点，其余顶点形成另一组A。 我们对这些集合（ R和A ）之间的边缘感兴趣。 由于它是平面二分体，因此此类边的数量受G中节点数量的两倍限制。

我的感觉是有一个更好的界限，可能是A中节点的两倍加上R中节点的数量。

如果您可以反驳我的直觉，那也很好。 希望你们中的一些人能提出一些相关的论点。

Answer 1

那是你所能做的最好的。 取任意平面图G并构造其面均具有4条边的面顶点入射图H。 令R为G的面的集合，并使用H中的边以任何方式构造星形。这实现了二分平面图的界。