反轉 2D --> 2D 非線性 function

Question

如果這是在這里寫問題的一種不尋常的方式，我很抱歉，因為它的 scope 似乎很大（對我來說）。 我很高興被引導到已經完成我需要的預定義包，確實我希望（應該？）我的問題有一個標准化的解決方案。 我想知道那里是否有任何幫助？ 我還在通過我正在做的一個項目學習Python，我覺得我在某些方面有點弱......

好的，這里是：我想在 python 中反轉 2D --> 2D function，但我的努力都沒有成功。

假設我在（非線性）方程組中有兩個關系，所以

a = f(x,y)

b = g(x,y)

其中 f 和 g 都是連續且可逆的，並且 x 和 y 具有一定的預定義矩形域。 a 和 b 也有自己的矩形域，但與 x 和 y 不同。

關於 f 和 g 的一些額外信息：其中一個函數將是線性的，我們稱之為 f。 因此，a = f(x,y) = q x + p y + r（其中 q、p 和 r 是已知常數）。 在 Python 術語中，我猜你會寫 a[ i, j ] = q x[ i ] + p y[ j ]。 另一個 function，g，沒有解析表達式，但看起來類似於 k sin(x) + l sin(y)，因為 x 和 y 在 0 和 pi/2 之間。

此外，我希望制作 3D 表面 plot 的整體“母功能”，將 a 和 b 設為 arguments。 調用母親 function M，我們得到 M = M(a,b) = M(f(x,y),g(x,y))。 到目前為止，一切都很好。

問題的本質是我需要首先在“母網格”上選擇一對（a，b），然后找到產生這個特定（a，b）的對應對（x，y）。 但是， f 和 g 沒有任何分析上的“簡單”逆，我需要在數字上找到這些。

所以基本問題是， “給定 a[ i ] 和 b[ j ] 作為兩個排序列表，並給定用於獲取 a 和 b 的 x[ ii ] 和 y [ jj ]，我如何找到兩個逆函數 x = inv1 (a,b) 和 y = inv2 (a,b)？"

PS。 我已經嘗試了通過首先選擇（x，y）對，計算暫定（A，B）對，然后將其插入到預定義的（a，b）網格中的“廉價方法”我可以。 然而，由於（x，y）網格和（a，b）網格（相當）不同，相應的“擬合錯誤”總是使最終結果呈現鋸齒狀和混亂（我有一個控制場景，我知道什么在做我自己的案例之前，最終結果應該是這樣的）。 這是因為如果有意義的話，我實際上是在將 A 和 B 的值強制到 position (a,b) 處的 M function 的高度上。 我已經嘗試對此進行平均和平滑“作弊”，但它仍然無法通過 imo。 因此，我真的需要先選擇一個 (a,b) 對，然后再找到相關的 (x,y) 對。

注意：M 函數中的一些參數直接取決於 x 和 y，因此需要知道 x 和 y 的確切值。

Answer 1

感謝您的附加信息。 我認為您可以直接解決此問題，然后再進行分析。

從你的最終結果開始(a, b) ：

首先解決a以找到您的 xy 線，例如：

a = qx + py + r
y = (qx + r - a) / -p

既然你說它是單調遞增的，為了簡單起見，我只是求解y 。

接下來，使用跨x的簡單二進制搜索將其插入您的非分析g ：

def invert(a, b):
    def get_y(x):
        return (Q * x + R - a) / -P
    
    def g_constrained(x):
        return g(x, func(x))

    x = binary_search(g_constrained, b, min_x, max_x, guess_x)
    y = get_y(x)
    return x, y

請注意，您的 function 通常不能保證有一個單一的解決方案，考慮一個看起來像弧的g平面解決方案，因為f是一條線，您可以有兩個交點。 您需要決定如何處理這些信息。

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以前的擔憂

我懷疑您聲稱a = f(x,y)是連續且可逆的。

簡而言之：如果您的 function z = f(x, y)沒有與平面z = K相交於每個K的一個點，則它不是 invertible 。

一個詳細的例子：

考慮一些點，以及它周圍的 4 個點——為了方便起見，這里我使用(0,0)和單位長度。

z = f(0,0)

a = f(-1,0)
b = f(1,0)

p = f(0,-1)
q = f(0,1)

如果f提供一個標量值（或任何x < y和y < z暗示x < z的值），那么我們就有問題了。

由於f是連續且可逆的，因此a < z < b或b < z < a ，對於p和q也是如此。 所以f-inv(z+)會將 map 轉換為兩個不同的值，一個在(-1, 0) -> (1, 0)行上，一個在(0, -1) -> (0, 1)行上。