將 3D 數據點擬合到多項式曲面並返回曲面方程

Question

我是 Python 3D 擬合和相關優化技術的新手。 我試圖了解類似的主題並根據最小二乘法找到答案，但我的成功相當有限。

問題：我有一些（大約 400 個）3D 點存儲在 np 數組中。

data = np.array([[x1, y1, z1], [x2, y2, z2], [x3, y3, z3], [x4, y4, z4], ... ])

我想將多項式曲面（2 階或 3 階）擬合到這些點，然后獲取曲面方程的參數，因此我可以計算任何給定 (x, y) 值對的 z。 例如：

z = (A * x ** 2) + (B * y ** 2) + (C * x * y) + (D * x) + (E * y) + F

我需要得到一個 output，其中包含 A、B、C、D、E 和 F 參數。 有沒有一種很好的“Pythonic”方式來做到這一點？

Answer 1

curve_fit接受自變量的多維數組，但您的 function 必須接受相同的：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

data = np.array(
    [[0, 0, 1],
     [1, 1, 2],
     [2, 1, 3],
     [3, 0, 5],
     [4, 0, 2],
     [5, 1, 3],
     [6, 0, 7]]
)

def func(X, A, B, C, D, E, F):
    # unpacking the multi-dim. array column-wise, that's why the transpose
    x, y, z = X.T

    return (A * x ** 2) + (B * y ** 2) + (C * x * y) + (D * x) + (E * y) + F

popt, _ = curve_fit(func, data, data[:,2])

from string import ascii_uppercase
for i, j in zip(popt, ascii_uppercase):
    print(f"{j} = {i:.3f}")

# A = 0.060
# B = 2004.446
# C = -0.700
# D = 0.521
# E = -2003.046
# F = 1.148

請注意，通常您應該為參數提供初始猜測以實現良好的擬合結果。

Answer 2

如果您允許 sklearn 依賴，您可以將sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures與sklearn.linear_model.LinearRegression一起使用：

import numpy as np
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression

np.random.seed(0)

# Generate fake data 
n,m = 400, 3
data = np.random.randn(n,m)

# Generate polynomial features of desired degree
d = 3
poly = PolynomialFeatures(degree=d, include_bias=False)
X = poly.fit_transform(data[:, :-1]) # X.shape = (400, 9)
y = data[:,-1] # y.shape = (400,)

# Define and fit linear regression 
clf = LinearRegression()
clf.fit(X, y)

# Check results
print(clf.coef_)
[-0.01437971  0.09894586  0.01936384  0.17245758  0.05518938
  0.0239589  -0.09930492 -0.04593238 -0.01588326]

print(clf.intercept_)
-0.12456419670821159