我如何計算拉格朗日多項式 Li Function 的導數？

Question

目前我一直在尋找拉格朗日多項式 Li 函數的導數。 這就是我寫李function的方式：

def Li(x, xArr, n):
  L = 1
  resArr = []
  for i in range(n):
    for j in range(n):        
      if j == i:          
        continue
      L = L * ((x - xArr[j])/ (xArr[i] - xArr[j]))
    resArr.append(round(L,4))
    L = 1
  return resArr

我想從 function 計算數組結果的導數。 例如，如果我們嘗試對其進行硬編碼，使用給定的 xArr = [10.5, 12] 它將看起來像：

L[0] = (x - xArr[1]) / (xArr[0] - xArr[1]) * (x- xArr[0]) / (xArr[1] - xArr[0])
L[0] = (x - 12)/(10.5 - 12) * (x - 10.5)/(12 - 10.5)
L[0] = (x^2 - 22.5x + 126) / -2.25

然后我們將找到 L[0] 與 function (x^2 - 22.5x + 126) / -2.25的導數，在手動求解中，我們可以稍后插入 x，但如果我們編碼它，我假設代碼必須首先知道 x 值，對吧？

所以，例如我給 x 值 = 11.5，它使 L[0] = 0.3333 的結果

現在我想計算 L[0] 的導數，結果將是：

L'[0] = 2x - 22.5 / -2.25 for x = 11.5
L'[0] = 0.5

有什么辦法嗎？ 我嘗試過使用 torch.tensor 和 np.diff，但結果並不令人滿意。 謝謝你。

Answer 1

尚不清楚您想要什么，因此@ombk 的每條評論的更多詳細信息會有所幫助，但是如果您想要 function 的數值導數，您可以這樣做。 請注意，我們使用numpy對 arrays 進行算術運算，因為基本列表不能這樣工作

import numpy as np
eps = 0.1
L_base = Li(11.5, [10.5, 12], 2)
L_bumped = Li(11.5+eps, [10.5, 12], 2)
derivs = (np.array(L_bumped) - np.array(L_base))/eps
derivs

在這里我們將x稍微增加一點，重新計算你的函數並查看變化率（這是一階導數的定義）

代碼產生

array([-0.666,  0.666])

這些是L[0]和L[1]在x=11.5處相對於x的（數值）導數

幾點評論。 你為什么在你的代碼中做round(L,4) ？ 它很適合打印結果，但不適用於數值計算，因為您會失去精度。 特別是對於導數，在上面的代碼中將eps設置為1e-4不起作用，因為結果被四舍五入

此外，您的“手動”示例是錯誤的，並且與您的代碼不一致。 對於兩個元素的xArr ，'Li' 函數是線性的，所以它應該是

L[0] = (x - xArr[1]) / (xArr[0] - xArr[1]) 
L[1] = (x- xArr[0]) / (xArr[1] - xArr[0])

最后，您不需要n作為 function arguments 之一，因為您可以從列表 xArr, n=len(xArr)中計算它